一试训练题

解答

线性函数在区间上的最值在端点，所以条件等价于 $|f(1)|\le 2,|f(3)|\le 2$。令 $p=a+b,q=3a+b$，则 $a=\frac{q-p}{2},b=\frac{3p-q}{2}$，$ab=F(p,q)=\frac{-q^2+4pq-3p^2}{4}$，$(p,q)\in [-2,2{]}^2$。固定 $p$，$F$ 是 $q$ 的开口向下二次函数，对称轴 $q=2p$。若 $|p|\le 1$，最大值为 $F(p,2p)=\frac{p^2}{4}\le \frac{1}{4}$。若 $p>1$，取 $q=2$：$F(p,2)=\frac{-4+8p-3p^2}{4}$，在 $p=\frac{4}{3}\in (1,2]$ 处最大，值为 $\frac{1}{3}$；$p<-1$ 时对称，也是 $\frac{1}{3}$。故最大值为 $\frac{1}{3}$，取 $p=\frac{4}{3},q=2$，即 $a=\frac{1}{3},b=1$，此时 $f(x)=\frac{x}{3}+1$ 在 $[1,3]$ 上取值 $\frac{4}{3}$ 到 $2$。所以 $\boxed{\frac{1}{3}}$。