2016 年中科大少年班初试 · 第 4 题

解答

因 $\sin A>0,\sin B>0$，原式迫使 $\cos C<0$，故 C 钝而 A、B 锐。又 $\cos C=-\cos (A+B)$，展开得到 $\sin A(1+2{\sin }^{2}B)=2\cos A\sin B\cos B$。因此令 $q=\tan B>0$，有 $\tan A=\sin 2B/(1+2{\sin }^{2}B)=2q/(1+3q^2)\le 1/\sqrt{3}$，最后一步由 $1+3q^2\ge 2\sqrt{3}q$。等号 $q=1/\sqrt{3}$ 时 $A=B=\pi /6,C=2\pi /3$，满足原式，故最大值为 $\boxed{\sqrt{3}/3}$。