同一骨架 2024 年甘肃预赛 · P006458
两题都同时给出含未知函数的奇偶条件。将自变量换成相反数，便得到关于两个对称点函数值的线性关系，先消元还原函数，再处理具体不等式或乘积。全域消元时不能随意除去可能为零的自变量因子。
一个函数还原后比较的是偶函数随绝对值的变化；另一个还原后是相邻奇偶输入的连乘相消。
培玉 · 一试
2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 9 题
F2解答题函数的图像与性质
设 是定义域为 的函数，，。若 为奇函数， 为偶函数，求
的值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
两个奇偶性条件可消去 ，先确定解析式，再把乘积按相邻奇偶数配对。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由奇偶性，对每个实数 有
代入并整理得 ，即 。 对正整数 ，，因此所求商有意义，且
复核
所得 为奇函数， 为偶函数。乘积消去中间奇数后仅留下分子 与分母 ；分子分母各有 个负因子，符号为正。
方法总结
抽象函数先由性质还原；连续奇偶自变量构成的乘积商，再检查能否配对约去相邻因子。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
由两个奇偶性等式常规消元，再把相邻奇偶自变量配对消去乘积中的中间因子。
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