同一骨架 2021 年北京预赛 · P006956
两题的交叉项或平行四边形式都提示先分离一个二次基准。减去基准后，原关系降到更低阶的整数结构，再用额外条件消去残余自由度；仅找到平方型候选还不足以证明唯一。
整数函数用加法结构确定线性残差，再用取值限制约束它；数列用固定二阶差分确定一般项，再以另一组下标核原恒等式。
培玉 · 一试
2024 年江苏预赛
F3填空题递推数列
已知数列 满足 ，其前 项和为 。若对任意正整数 ，当 时，恒有
则 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先取 得常二阶差分，再用另一组 排除一次项自由度。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 ，则对 ，
因此存在常数 ，使
再在原式中取 ，得到 。代入上式可得
所以 ，即 。故
复核
满足 ，故既满足必要条件也满足原递推。
方法总结
含 的恒等式可先取最小的 ，把问题化为常二阶差分数列。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
n=1只能确定带一个线性自由项的二次通项，必须再用原二指标关系排除自由项，不能只凭相邻递推定解。
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同一骨架 2025 年云南预赛 · P006412
给定或推导出的二阶差分，都可先记相邻项之差来降低一阶。累计后，通项或一阶差分成为低次多项式；剩余初值或原恒等式再负责确定仍自由的部分。
一题只需一阶差分的整数符号来找最小项，另一题还需回到原来的双下标关系，排掉由特殊代入留下的线性自由度。
已记下，谢谢！