同一骨架 2014 年湖北预赛 第 3 题 · P010624
两题都先确认边向量的方向，将数量积约束转成三边的二次关系，再除去正的尺度，研究边长比与角的余弦。代数所得的比例仍要回到真实三角形，核查非退化性以及所问角究竟是哪一个。
两题的原数量积约束不同。前题留下连续的边比，用互倒正量的基本不等式定界并构造取等；后题另有已知角，结合余弦定理将边比压成有限分支，还要由边的大小判断最大角。
培玉 · 一试
2023 年甘肃预赛 · 第 3 题
F2填空题向量的数量积与几何意义
在 中，已知
则 的最小值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
以顶点 为共同起点，把方向不同的边向量统一成两个向量，再展开已知数量积。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
这样能把 写成两个正边长比的互倒组合，用基本不等式定界；还要构造满足原关系的非退化三角形来实现等号。
解答
设
并记 。各边向量的方向为
因此原数量积等式化为
即
而 ，所以
令 ，则
对两个正量用基本不等式，
得到
等号要求 ，即 。
为核实等号可达，取 ，并取夹角
由两边及夹角作三角形，它非退化。此时
故
确实满足原数量积关系。因此所求最小值为
复核
条件强迫 ，但没有预先假定另外两个角也锐。非退化还要求 ，在边比 上等价于 ，即
等号比例 属于这个区间。上述构造的第三边满足 ，与由两边和严格内角作出的三角形一致。
方法总结
数量积中出现反向边时，先统一共同起点，逐个确认正负号。将约束转成边长平方与交叉项的关系后，只求目标需要的组合；基本不等式的等号比例还须回到真实几何构型核验。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
统一反向边到同一顶点，双线性展开得到边长二次关系，转成正比值互倒之和定界，再由两边夹角构造合法取等三角形。
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