2025 年山东预赛

思路

七次单位根是满足 $w^7=1$ 的七个复数，可写作 $e^{2k\pi i/7}$。分式变换 $w=1-1/z$ 在 $z\ne 0$ 上可逆为 $z=1/(1-w)$，因此须排除 $w=1$。

想法从哪来：式子里既有变量与一减变量的乘积，又有一个二次式的平方，直接展开会得到六次方程，通常难以因式分解。先把两个量记成和为一的互补量，观察二次式正是它们平方和加乘积。这样的结构提示高次和的恒等式，而目标常数的分母又提示尝试七次幂。 将七次和展开并与两个七次幂比较，会把原来的六次表达式吸收到一个完整恒等式中。接着用一个互补量除以另一个，将方程变成单位根方程；变换前先排除零分母，再去掉不可能对应有限变量的单位根一。最后六个非平凡单位根通过可逆分式给六个不同解，半角展开只作展示，必须重新核对虚部符号。

利用七次二项式的特殊恒等式，把原方程化成七次单位根方程；最后必须直接核对复指数展开的符号。