一试训练题

解答

条件说明 $A,B,C$ 两两不交，且 $S=A\cup B\cup C$ 的元素从小到大排列后，前一段是 $A$、中间一段是 $B$、后一段是 $C$，三段都非空。反之，给定 $|S|=s\ge 3$ 的子集 $S$，在其 $s-1$ 个相邻间隙中选 $2$ 个作切点，就唯一确定一个三元组。所以个数为 ${\sum }_{s=3}^7\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{s}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s-1}{2}\right)=35\cdot 1+35\cdot 3+21\cdot 6+7\cdot 10+1\cdot 15=\boxed{351}$。