2026 年中科大少年班营一 · 第 2 题

解答

记 $S=\sum |z_k|<\ln 2$。三角不等式及 $\ln (1+r)\le r$ 对 $r\ge 0$ 成立，故 $\prod |1+z_k|\le \prod (1+|z_k|)\le e^S$。令 $H(s)=1+2s-e^s$，有 $H(0)=0$ 且 $H^{\prime }(s)=2-e^s>0$ 在 $0\le s<\ln 2$ 上成立。所以 $S>0$ 时 $e^S<1+2S$，$S=0$ 时全体 $z_k=0$，等号成立。因而 $\boxed{\prod |1+z_k|\le 1+2\sum |z_k|}$。