培玉 · 一试
2017 年山西预赛 · 第 8 题
F2填空题数论
设 是前 个正整数构成的集合。若从 中去掉一个元素后， 中剩下的元素之和恰为一个平方数，则去掉的元素是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把删去一项后的平方限制在短区间内，找出其中唯一平方，再反求所删元素。
解答
全部元素之和为 。设删去 ，则
由于 、、，区间内唯一平方是 。所以删去
复核
1677确在原集合内，删去后的和等于所列平方。相邻两平方都已越出区间，排除了其他可能。
方法总结
只删一个有界元素时，目标落在短区间；先框住连续平方的下标，再回代合法性。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先将删数范围换成平方所在区间，再用相邻平方夹定唯一候选并检查删数合法。
已记下，谢谢！