培玉 · 一试

专题地图 › 三角函数综合

2024 年新疆预赛

F3解答题三角函数综合

设 $x, y$ 均为非零实数，且满足

x sin \frac{2 π}{5} + y cos \frac{2 π}{5} = tan \frac{11 π}{15} (x cos \frac{2 π}{5} - y sin \frac{2 π}{5}) .

(1)
求 $\frac{y}{x}$ 的值；
(2)
在 $△ A BC$ 中，若 $tan A = \frac{y}{x}$ ，求 $\frac{1}{2} cos 3 B - \frac{3}{2} cos C$ 的最小值。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

先辨认和角正切求比值与A，再把三倍角和另一角的导数合并为乘积以确定唯一最小点。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用导数或作差看单调性、正切和半角代换

专题卡：含正切的分式和半角：用和角公式合并，或设半角正切化成有理式、三角函数化成一个变量：求导看增减，再比较端点