培玉 · 一试
2008 年湖北预赛 · 第 5 题
F2填空题平面几何综合
设 为锐角三角形 的垂心，已知 ，，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
锐角三角形的高线相交在内部，三角形 的两个角可由原三角形的角补出。
思路
对它与原三角形分别用正弦定理，即可消去另一条边。
解答
因 是锐角三角形内部的垂心，
在 中用正弦定理，
而在 中，。因此
复核
上述公式等价于 ，由 、 可得外接圆半径 ，故同样得到 。锐角条件保证使用内部高线和正长度，无须补绝对值。
方法总结
外接圆半径、垂心到顶点的距离常由同一组正弦定理联系起来；应先根据锐钝角确定高线方向和所用角。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先按锐角垂心的位置补出有关角，再在两个三角形中用正弦定理消边；距离公式的方向与正长度依赖锐角条件。
已记下，谢谢！