2014 年天津预赛 · 第 5 题

解答

设 $m$ 在 $\pi$ 上的正投影为 $m\prime$，$m$ 到 $\pi$ 的距离为 $h>0$。因 $m,l$ 异面，$m\prime$ 不平行于 $l$，二者相交。以交点为原点，在平面内用带符号距离线性函数 $L(P),M(P)$ 表示到 $l,m\prime$ 的距离。则到 $m$ 的距离平方为 $M(P{)}^2+h^2$，故轨迹满足 $(L(P)-M(P))(L(P)+M(P))=h^2$。两因子代表两条不同的相交直线，右边非零，所以为非退化双曲线，选 $\boxed{\mathrm{D}}$。