2025 年浙江预赛

抛物线切线与椭圆弦中点

F4解答题解析几何综合

已知抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $P (m, n) (m \neq = 0)$ 是 $E$ 的动点。过 $P$ 点作 $E$ 的切线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

交于 $A, B$ 两个不同的点，记 $A B$ 的中点为 $D$ 。设直线 $O D$ （ $O$ 为原点）与直线 $y = - \frac{p b ^{2}}{a ^{2}}$ 交于 $Q$ 。

(1)
证明直线 $y = - \frac{p b ^{2}}{a ^{2}}$ 与直线 $PQ$ 垂直；
(2)
若 $l$ 与 $FQ$ 交于 $G$ ，且 $a = 2 b$ ，证明
$1 < \frac{S _{△ FPG}}{S _{△ PGQ}} < 2.$

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

先消元证明Q与P同横坐标，再引入准线点形成等腰三角形以识别切线为角平分线，面积比才化为两个可比的焦准距离。

用到的方法（会透露解法方向）