2018 年河南预赛 · 第 11 题

解答

由 $a_{16}=4,a_{17}=1$，顺次得到

状态 $(a_{20},a_{21})=(1,1)$ 在三步后回返，之后按 $(1,1,0)$ 循环。因 $2018-20=1998$ 是 $3$ 的倍数，故 $\boxed{a_{2018}=1}$。 对一般初值，从 $a_3,a_4$ 起均为非负整数，且不可能同时为零，否则由 $a_3=0,a_4=0$ 反推 $a_2=0$，与题设不符。设相邻正整数状态为 $(u,v)$。若 $u>v$，一步后为 $(v,u-v)$，最大值严格下降；若 $v>u$，两步后为 $(v-u,u)$，最大值严格下降；若 $u=v$，下一项即为零。因此有限次后必出现 $(0,d)$ 或 $(d,0)$，其中 $d>0$。此后循环为 $0,d,d$。取循环中所有零项以及其中一个值为 $d$ 的位置，便得到两个无限常数子数列，且常数不同。即 $\boxed{\text{存在值分别为 }0\text{ 和 }d>0\text{ 的无限常数子数列}}$。