易混 2025 年四川预赛 · P006383
发现重复变换后，都应先问对象是否允许非零周期。分式递推的数列可以回到同一状态后循环，但非恒定多项式若在所有实输入上平移不变，会与次数矛盾。
数列一段循环还要查沿途分母；多项式则要证明非恒定，并把反射真正复合成平移，不能只凭对称图形猜周期。
培玉 · 一试
2024 年江西预赛
F3解答题多项式
是否存在实数 和 次实系数多项式 ，满足对任意实数 都有
请说明理由。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
两个二次式各自关于其对称轴反射不变；若存在公共复合多项式，它将同时具有两个不同的反射对称，从而产生非零平移周期。
解答
假设存在，并记
因为
所以 。又因为
所以 。将第二个反射后再使用第一个反射，得到
因此多项式 以 为周期。非恒定实多项式不可能有非零周期，故 必为常数。
但 为 次多项式， 的次数为 ，不可能是常数，矛盾。因此
复核
结论与 无关，因为第二个二次式的对称轴始终为 ；次数条件保证公共复合式确实非恒定。
方法总结
两个不同中心的反射之复合是平移；多项式若同时关于两个不同竖轴对称，就会获得非零周期并被迫为常数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须把两个二次内函数的不同对称轴转为公共多项式的非零周期，再与非恒定次数矛盾。
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