培玉 · 一试
2022 年吉林预赛
已知函数
若存在 ，使得 ，求实数 的最小可能值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
二次函数配方给全局下界；凹函数图象在端点弦上方，两个端点正即可全区间正；凸函数在导数为零处取全局最小值。
想法从哪来：先试一个简单点得到可行的参数候选，再要排除更小参数。把参数视为自变量，其二次项的顶点会随x移动，因此不能在所有x上直接说参数越大函数越小。比较顶点与候选参数的位置，恰好给出自然分界：小x段即使允许参数任取，其二次部分也有配方下界；大x段则可合法把参数推到候选边界。两段留下的指数减多项式分别用凹性与凸性控制，端点或驻点的精确值负责给出符号。尤其小段的凹函数要用端点正推出全段正，大段则用二阶导数正与零驻点给非负。最后回代候选的等号点。
把含 的部分视为二次函数，其顶点为 ，因而以 分段。小 段考察指数项与三次式之差的凹性；大 段把 推到边界 ，再验证一个以 取等的指数不等式。
解答
先证明当 时，对任意 都有 。
当 时，关于 配方可得
从而
下面证明右端为正。令
在 上，
故 ，函数 为严格凹函数，其最小值在区间端点取得。利用 ，有
且由 得 ，所以
因此 ，这就证明了该段 。
当 时，函数 在 上单调不增。因此 时
其中
有
故 在 上以 为唯一最小点，且 。于是该段仍有 。
所以所有 都不可能。另一方面，当 时
因此实数 的最小可能值为
复核
分段点来自二次函数顶点 ；小段的估计严格为正，大段在 时第一步即为严格不等式。 的代入值准确为零。
方法总结
含参函数“存在一点非正”的临界值，可先反证参数低于候选值时函数处处为正。参数二次项的顶点位置常自然给出自变量分段。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需定位候选a=1后按参数二次式顶点是否越过1分x区间，分别构造足够的指数下界，证明所有a<1不可能；两区使用的界相互配合覆盖全域。
已记下，谢谢！