2016 年黑龙江预赛 · 第 20 题

解答

记 $\theta =\angle ABC$，由半角公式及 $0<\theta <\pi$，

以 $B$ 为原点，记 $\mathbf{u}=\overrightarrow{BA}$、$\mathbf{v}=\overrightarrow{BC}$，并设 $BC=t>0$。则 $|\mathbf{u}|=2$、$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=2t/3$。由 $AD:DC=2:1$，

所以

化为 $3t^2+2t-33=0$，即 $(t-3)(3t+11)=0$。由 $t>0$，得

三角形 $DBC$ 与 $ABC$ 从 $B$ 到直线 $AC$ 的高相同，底边比 $DC:AC=1:3$，故