易混 2026 年浙江预赛 · P006175
逐变量取最优前先检查变量是否独立。内角和会把三个角耦合起来,单项各自的最大点未必能同时达到;独立角变量的内层最优若不依赖外层,才可先消去一个变量。
前题构造在等角点取等、并对整个锐角区间成立的线性上界,再利用角和相加;后题先优化一个独立角的乘积,再对剩余角严格求全局最小值。
已知 ,则
的最小值是。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
先对 使用 ,再令 化成单变量函数。
由 ,
求导得
其符号由
决定,而 。又 ,故 在 处取得唯一最小值
取 可取等,故最小值为 。
两个等号条件给出的 都在开区间内;函数在 的两端均趋于正无穷,驻点确为全局最小点。
多变量三角最值若变量只在乘积中耦合,可先逐变量取最优,再对剩余单变量作严格单调性审计。
先使sin²y cos²y取最大1/4,再以u=cos x化成9/(1-u²)+4/u;需组织导数分子单调性确定唯一临界u=1/2并核两个角可同时取等。
易混 2026 年浙江预赛 · P006175
逐变量取最优前先检查变量是否独立。内角和会把三个角耦合起来,单项各自的最大点未必能同时达到;独立角变量的内层最优若不依赖外层,才可先消去一个变量。
前题构造在等角点取等、并对整个锐角区间成立的线性上界,再利用角和相加;后题先优化一个独立角的乘积,再对剩余角严格求全局最小值。
已记下,谢谢!