2017 年河北预赛 · 第 12 题

解答

$f^{\prime }(x)=2x-2/x$，所以在给定区间上最小值为 $f(1)=1$，最大值为 $f(e)=e^2-2$；另一端 $f(1/e)=e^{-2}+2$ 更小。由 $5<e^2-2<6$，原等式给 $n-1\le e^2-2<6$，故 $n\le 6$。取前五项的输入全为一，再由连续性在 $[1,e]$ 内取第六个输入使函数值为五，原等式便成立。因此 $\boxed{n_{\max }=6}$。