2011 年安徽预赛 · 第 11 题

解答

对任意 $0<t<1$，有 $f(t)-t^{3}f(1)-(1-t^3)f(0)=b(t-t^3)$。由区间函数值在零与一之间，右侧不超过一。函数 $t-t^3$ 在 $t=1/\sqrt{3}$ 达到最大值 $2/(3\sqrt{3})$，故 $b\le 3\sqrt{3}/2$。取 $f(x)=(3\sqrt{3}/2)(x-x^3)$，它在整个 $[0,1]$ 上非负，最大值正为一，所以所求最大值为 $\boxed{3\sqrt{3}/2}$。