培玉 · 一试
2021 年山东预赛
F3填空题排列组合
将两个 和两个 共 个字母填入 的方格表内，每格至多填一个字母， 则相同字母既不同行又不同列的填法种数是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先放两个 ，再在删去这两格后的棋盘上数两个互不攻击的 ；利用总非攻击格对数作减法最快。
解答
两个 所在格不同行、不同列，其无序位置对有
种。固定这样一对 格。整个棋盘上不同行、不同列的无序格对也有 对。 其中包含两个 格的有 对；包含恰一个 格的有 对。 所以两个 的可选位置有
对。总填法数为
复核
字母相同，故同色两格按无序对计算； 两类有区别，因此两阶段计数无需再除以对称因子。
方法总结
棋盘上的同类对象先按“非攻击格对”计数，后放对象可从总格对中扣除占用格相关的格对。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先固定a的无序不同行列格对，再从全部b合法格对中扣除含a格的情形，必须精确处理同时占两a格的交集。
已记下，谢谢！