同一骨架 2015 年辽宁预赛 第 6 题 · P010892
图形虽有许多线段，两题真正要控制的是共线点之间的分点比例。用仿射坐标或梅涅劳斯关系消去交点位置后，长度比例可由少量参数确定，外形的角度并非核心。
一个在完全四边形中出现倒数关系，另一个在正多边形里借截线比例建立参数方程。
培玉 · 一试
2026 年湖北预赛
完全四边形截线上的长度关系
F3填空题平面几何综合
在 中， 分别在 上， 和 交于点 ，直线 分别与 交于点 。若 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
图形只涉及直线、交点和同一直线上的长度比，适合在 构成的仿射坐标中计算。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把 上的点统一写成 后， 的参数满足一个与 位置无关的倒数关系。
解答
以 为原点，并以 为一组基。设
联立直线 与 的参数方程，可得它们的交点
对 上的点 写成 。点 在直线 上，故它关于 的两个坐标之和为 。由 (1)，
点 在直线 上；若一个点的仿射坐标为 ，则落在 上的条件是
再由 (1)，
于是
又因 ，由 (2)、(3) 可知
所以直线上的点序为 。设 ，则
代入 (4)，
因此
复核
公式 (2)、(3) 与 同时给出 位于线段 内、 位于从 经过 的射线上且在 外侧，故 ，没有误判点序。
方法总结
完全四边形中只问同一直线上的长度时，可用三角形两边作为仿射基。交点坐标虽然含两个 分点参数，但消元后往往留下与具体形状无关的射影关系；最后一定要由参数范围恢复点序。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需发现QP的两个截点满足QP/QM+QP/QN=2，并确认Q、M、P、N点序，才能将给出的两段长度代入。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用基点和线性组合表示位置
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同一骨架 2025 年内蒙古预赛 · P006313
两题的关键条件都是共线与同一直线上的分点比，适合先选择线性坐标简化图形。坐标变化后这些关系仍是一次的，可以先解分点参数，再恢复原来所求的长度比或面积。
前题按椭圆半轴伸缩为圆并计入面积倍率，后题沿三角形两边取仿射坐标；不能额外假设变换保持角度。
已记下，谢谢！