垫脚石(相关题 → 此题) 2025 年新疆预赛 · P006394
先在单一相位函数上练习按等距相位点数零点与极值点,再处理须先解三角函数值的参数方程。后一题把代数根分成区间内值、端值与越界值,每一类在正负半波中的原像数不同,前题的相位计数是进一步分类的基础。
前题的相位序列已经明确,只需核开端点;后题要先确定哪些正弦水平值可取,再结合半波奇偶计数,不能把每个代数根一律按两次出现计算。
三角函数零点计数
若存在实数 及正整数 ,使得
在 内恰有 个零点,则满足条件的正整数 的值有个。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
把方程化为关于 的二次方程,再按 的范围和 的奇偶性精确计数。
先回想这道题的想法,再试试当前题。
零点方程等价于
两根一正一负。正根属于 当且仅当 ,负根属于 当且仅当 。
若 为偶数,则当 时,零点数依次为
若 为奇数,则零点数分别为
逐一令这些数等于 ,得到
故共有
个。
时有一根等于 ,在每个相应半周期只出现一次,已与普通根的两次出现分开计数;区间端点 均不计入。
三角函数零点计数先把函数值降到 上的代数根,再分“内点根、端值根、越界根”和区间奇偶性处理。
关键是把零点转为正负两个正弦水平值,按是否达到正负1确定每半周期贡献;再结合n奇偶统计,分支虽多但界点直接明确。
垫脚石(相关题 → 此题) 2025 年新疆预赛 · P006394
先在单一相位函数上练习按等距相位点数零点与极值点,再处理须先解三角函数值的参数方程。后一题把代数根分成区间内值、端值与越界值,每一类在正负半波中的原像数不同,前题的相位计数是进一步分类的基础。
前题的相位序列已经明确,只需核开端点;后题要先确定哪些正弦水平值可取,再结合半波奇偶计数,不能把每个代数根一律按两次出现计算。
已记下,谢谢!