垫脚石（此题 → 相关题） 2025 年广东预赛 · P006233
先在一条焦点弦上把两个焦点三角形的内半径写成配对参数，再将同一参数用于两个内心围成的面积及角平分线的轴上截距。这样从单一半径面积和推进到多种几何量共享同一个真实参数区间。
两题上界都受交点趋向无穷远的限制，但后一题还要检查两个轴上截距能否重合；只会计算内切圆面积和不能替代这一额外判断。
培玉 · 一试
2025 年内蒙古预赛
双曲线焦点弦两焦点三角形内切圆面积和
F4填空题双曲线
已知 分别为双曲线
的左、右焦点，过 的直线与双曲线的右支交于 两点。记 的内切圆 的面积为 ， 的内切圆 的面积为 ，则 的取值范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
内切圆半径满足 ，配合海伦公式可得 。单位方向横分量的正负区分同一割线的两个相反射线。
想法从哪来：一个焦点三角形的三边并不独立：右支点到远焦点的距离只比近焦点距离多固定长度。先用近焦距作参数，半周长与海伦公式中的各差都线性化，内切圆半径平方会化成很简单的分式。 两个交点还受同一条过焦点直线约束，宜用单位方向横分量表示这对近焦距，而不用两个独立坐标。正向与反向的表达只差参数符号，相加后奇次部分自动抵消，目标只依赖参数平方。要求两点都在右支且有限，给出一个开方向区间；最对称的竖直弦可以取到，渐近方向却不能，所以范围的下端闭、上端开。这比在最后凭图像猜端点可靠。
对右支上一点，以它到右焦点的距离为参数，双曲线定义立即给出另一个焦距， 从而可用海伦公式写出焦点三角形的内切圆面积。再用过焦点直线的方向余弦联结两个交点距离。
解答
双曲线的焦点为
设右支上一点 到 的距离为 。由双曲线定义，
所以三角形 的半周长为 。由海伦公式，其内切圆半径 满足
设过 的直线一个方向的方向余弦为 。把该方向上的点写成
代入双曲线方程，可得该方向与反方向上的两个交点到 的距离分别为
最后的不等式正是两个交点均为有限点的条件。
将式（2）代入式（1），得到
因此
当 从 增至 时，上式严格增大； 可以取到，而 对应渐近方向，不能取到。故
复核
时直线为 ，两个交点为 ，两个焦点三角形都是 -- 三角形，内切圆半径均为 ，面积和确为 。 当 时公式极限为 ，但一交点趋向无穷，所以上端不取到。
方法总结
焦点弦问题可把每个交点到近焦点的距离作为参数。双曲线的焦距差固定， 海伦公式会大幅简化；同一焦点弦的两个距离再由极坐标或方向余弦成对表示，便于求和与判定端点。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需先将内切圆半径化为焦距变量，再引入方向余弦同时表示两交点，并核准渐近方向开端点。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！