一试训练题

解答

令 $u=x+y,v=x-y$，则 $x=(u+v)/2,y=(u-v)/2$，并且

故 $M$ 等价于 $|u|<1,|v|<1$，而 $P$ 等价于 $|u|<1,|u|+|v|<2$。 因此 $M\subseteq P$。点 $(\frac{3}{4},-\frac{3}{4})$ 满足 $P$ 的条件而不属于 $M$，所以 $M⫋P$。

$N$ 是焦点 $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}),(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$、长轴长 $2\sqrt{2}$ 的椭圆内部。 在正交坐标 $u/\sqrt{2},v/\sqrt{2}$ 下，半长轴平方为 $2$，半焦距平方为 $1/2$，半短轴平方为 $3/2$， 故 $N$ 等价于 $u^2/3+v^2/4<1$。 若 $(x,y)\in P$，记 $s=|u|$，则 $0\le s<1$ 且 $|v|<2-s$，从而

最后一步由 $s(7s/12-1)\le 0$ 得到。因此 $P\subseteq N$。 点 $(\frac{3}{5},\frac{3}{5})$ 对应 $u=\frac{6}{5},v=0$，有 $u^2/3=12/25<1$，但 $|u|>1$，故它属于 $N$ 而不属于 $P$。 综上 $\boxed{M⫋P⫋N}$。