2009 年湖北预赛 · 第 11 题

解答

设 $P=(u,v)$，则 $v=ku-1$。在切点横坐标 $s$ 处，切线为 $y=sx-s^2/2$，故两切点横坐标满足 $s^2-2us+2v=0$。于是切点弦为 $y=ux-v$，恒过 $\boxed{Q=(k,1)}$。因原直线与抛物线不交，$k^2<2$；从而 $D=u^2-2v=(u-k{)}^2+2-k^2>0$，确有两切线，且 $P\ne Q$。参数化 $PQ$ 上的点为 $(u+t(k-u),v+t(1-v))$。代入 $x^2-2y=0$ 得 $(k-u{)}^2{t}^2-2Dt+D=0$。若有题设的两交点，设参数为 $t_1,t_2$，则韦达给 $t_1+t_2=2t_1{t}_2$，即 $t_1(1-t_2)=-t_2(1-t_1)$。取绝对值得 $|t_1|/|t_2|=|1-t_1|/|1-t_2|$，即所求距离比。