2008 年安徽预赛 · 第 8 题

解答

下界处须单独检查能否取到。取$\phi$满足$\cos \phi =4/5,\sin \phi =3/5$，令$u=x-\phi$，则

分母要求$u\not\equiv \pi (\mathrm{mod}2\pi )$。利用周期，每个允许的$x$均可取$-\pi <u<\pi$，再令$v=u/2\in (-\pi /2,\pi /2)$，便有$\cos v>0$及

由柯西不等式，$6\cos v+8\sin v\le 10$，等号在$\cos v=3/5,\sin v=4/5$时取得。另一方面，$6\cos v>0$，$8\sin v>-8$，故$f(x)>-8/\sqrt{10}$；当$v\to -\pi /2+$时趋于该下界。 函数在上述开区间连续，从这个极限到最大值间的每个值都由介值定理取得。因此值域恰为