2026 年贵州预赛

思路

算术平均数不小于几何平均数适用于非负数。将长度先平方，可把欧氏距离拆成坐标差平方之和；单位区间约束通过 $a(1-a)\ge 0$ 进入估计。

想法从哪来：每段距离分别不超过体对角线会得到很松的乘积界，因为三段不能同时任意变长。中点条件把两条棱与连接中点的线段绑在一起，提示先寻找它们平方和的联合约束。立方体又能按三个坐标分别表达，所以先把空间问题缩成四个属于单位区间的数。 在一个坐标内，用两端坐标的和控制差的平方；中点差恰好是两个和之差的一半，配在一起就能完成平方，得到一个统一上界。三个坐标相加后，再把三个适当加权的长度平方交给均值不等式。这里权重由中点中的二分之一产生，不能先随意对三条原长度取平均。

把单位正方体写成 $[0,1{]}^3$。对每个坐标分别估计两条棱的坐标差和两个中点的坐标差， 可得到 $A{B}^2+C{D}^2+2E{F}^2$ 的统一上界；最后用均值不等式转成长度乘积。