同一骨架 2024 年新疆预赛 · P006609
先辨认两项正交分量的共同缩放，再用三角加角结构恢复方向角。前题要整理实部与虚部以确定幂的方向，后题第一问把旋转后的两个坐标之比识别为正切；共同缩放因子和分母都须先检查。
方向相同不等于模长相同；后题随后还要利用三角形角和处理另一个最值问题。
培玉 · 一试
2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 5 题
F3填空题复数的三角形式与指数形式
若正整数 满足
（ 为虚数单位），则 的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先化为复数的三角形式，实数条件便成为辐角的整倍数条件。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
记括号内的复数为 。由倍角公式与余角关系，
分母为正。由棣莫弗公式， 为实数当且仅当
即 对某个整数 成立，等价于 。 由于 与 互素，故 ，最小正整数为 。
复核
当 时辐角为 ，复数幂为负实数。题目要求实数而非正实数，因此不必再把 加倍。
方法总结
判定复数整数幂何时为实数，关键是准确求出辐角，再解相应整除条件。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
要先找到共同分母与倍角变形以辨认50度辐角，再将实数条件转化为整除。
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易混 2018 年中科大少年班初试 第 1 题 · P009959
写出辐角后，一个任务是求指定高次幂的完整值，角度按整周归约且保留模长；另一个只问首次成为实数，负实数也合格，角度条件按半周计算。把实数误当正实数会改变最小指数。
同样使用三角表示，所需的角度同余与最终保留的信息不同。
已记下，谢谢！