2025 年江西预赛

思路

欧拉线向量式：若外心为 $O$、重心为 $G$、垂心为 $H$，则 $H-O=3(G-O)$。以外心为原点时，三顶点等模，向量和对应点与各对边垂直，便可证明该式。

想法从哪来：三个交点横坐标满足三次方程，显式求根既难又无助于外心、垂心。先尝试从两条曲线的等式拼出一个同时成立的圆方程：乘积关系可以把平方中的高次混合项降次，抛物线关系再把另一个平方替换掉，圆心便能直接读出。 重心只需要三个横坐标之和与三个纵坐标之和，正适合用韦达关系。纵坐标是横坐标的倒数倍数，倒数和可由两两积和除以总积求得。最后用外心、重心、垂心的向量关系，直接得到所求距离，无须分别求三条高。推导之前还应确认三次方程确有三个不同实根，且交点不共线，使三角形和外心都有定义。

利用两条曲线方程消元，可发现三个交点同时落在一个显式圆上，从而直接得到外心。 交点横坐标满足三次方程，用韦达定理求重心，再用欧拉线关系求垂心。