同一骨架 2024 年四川预赛 · P006593
两题都先从平行截面确定随高度变化的面积，再沿高度累积体积。圆弧给出的长度和两底面混合得到的多边形都不是体积本身；准确求出截面积后，其二次变化结构可直接积分。
一题须辨明圆弧截得的是正方形对角线，另一题中间层已变成八边形；上下底外形相似并不保证中间截面仍是正方形。
培玉 · 一试
2024 年贵州预赛
F3填空题积分的应用
如图是一种“四脚帐篷”的示意图，曲线 和 均是以 为半径的半圆，平面 和平面 均垂直于平面 。用任意平行于帐篷底面 的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，则帐篷体积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
在高度 处，两个半圆给出截面正方形的两条对角线，不是两条边。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
底面是正方形，且半圆的直径 ，它们正是底面的两条对角线。距底面高度为 时，两条截面对角线长均为
因此正方形截面面积为
由祖暅原理，帐篷体积为
复核
底面面积为 ，与 一致；若误把 当作边长，体积会错误加倍。
方法总结
平行截面已知时用祖暅原理积分；图中半圆所在竖直平面穿过底面对角线，必须先辨明截得的是对角线。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须辨认两半圆提供的是截面对角线而非边长，写出随高度变化的正方形面积后积分。
联系 · 2 条
易混 2014 年安徽预赛 第 7 题 · P010175
两题都可以固定一层研究截线，但一个累积立体各高度的截面积，另一个求平面上动线段覆盖的并集。平面扫掠须先去掉重复覆盖并证明这一层所有位置可达，不能把每根线段的贡献直接当作体积式相加。
积分变量的物理含义不同：高度乘截面积给体积，横向长度沿纵坐标累积给面积。线段的运动参数也不一定等于最终积分变量。
已记下，谢谢！