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2026 年培玉原创改编高中数学竞赛 · 第 2 题
F2填空题参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 P0(1,1)，直线 l 的参数方程为
{x=1+3t,y=1+4t(t∈R).
若直线 l 与抛物线 C:y2=16x+9 相交于 A,B 两点，则 ∣P0A∣⋅∣P0B∣+∣AB∣=。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：55
解析
提示
直线参数方程 x=1+3t, y=1+4t 经过定点 P0(1,1)，但其方向向量 (3,4) 的模长为 32+42=5=1。
思路
因此参数 t 本身不是有向距离，必须先令 s=5t 化为单位方向参数，或者记住点 (x(t),y(t)) 到 P0(1,1) 的距离等于 5∣t∣，两交点间距离等于 5∣t1−t2∣，再将参数方程代入抛物线方程用韦达定理求解。
解答
1. 化为单位方向参数并明确距离与参数的关系： 直线 l 过定点 P0(1,1)，方向向量 v=(3,4) 的模长为 ∣v∣=32+42=5。 设单位方向参数为 s=5t，则直线 l 的标准参数方程为
⎩⎨⎧x=1+53s,y=1+54s(s∈R),
其中 ∣s∣ 表示直线上对应点到定点 P0(1,1) 的距离。用原参数 t 表示时，若交点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2（对应单位参数 s1=5t1, s2=5t2），则有
∣P0A∣⋅∣P0B∣=∣s1s2∣=25∣t1t2∣,∣AB∣=∣s1−s2∣=5∣t1−t2∣.
2. 代入抛物线方程求根与系数的关系： 将 x=1+3t, y=1+4t 代入抛物线 C:y2=16x+9，得
(1+4t)2=16(1+3t)+9,
展开整理得
16t2+8t+1=48t+25⟺16t2−40t−24=0⟺2t2−5t−3=0.
判别式 Δ=(−5)2−4×2×(−3)=49>0，由韦达定理（或因式分解 (2t+1)(t−3)=0）得两根
t1+t2=25,t1t2=−23,
且
∣t1−t2∣=(t1+t2)2−4t1t2=425+6=27.
3. 计算目标几何量之和： 代回距离关系式，得
∣P0A∣⋅∣P0B∣=25∣t1t2∣=25×23=275,
∣AB∣=5∣t1−t2∣=5×27=235.
故
∣P0A∣⋅∣P0B∣+∣AB∣=275+235=55.
复核
直接写出两交点的直角坐标进行几何复核：由 (2t+1)(t−3)=0 得 t1=−21，t2=3。 - 当 t1=−21 时，A(−21,−1)，验证 yA2=1=16(−21)+9 成立，且 ∣P0A∣=(23)2+22=25； - 当 t2=3 时，B(10,13)，验证 yB2=169=16×10+9 成立，且 ∣P0B∣=92+122=15。 由于 t1,t2 异号，P0 位于线段 AB 内部，故 ∣AB∣=∣P0A∣+∣P0B∣=25+15=235，且 ∣P0A∣⋅∣P0B∣=25×15=275，两者相加得 2110=55，与韦达定理结果完全一致。
方法总结
过定点 P0(x0,y0) 的直线参数方程 x=x0+at, y=y0+bt 中，点到 P0 的欧氏距离为 a2+b2∣t∣。因此当 a2+b2=1 时，距离乘积 ∣P0A∣⋅∣P0B∣ 需乘以二次尺度因子 (a2+b2)，而弦长 ∣AB∣ 需乘以一次尺度因子 a2+b2，切勿遗漏模长因子或混淆一次、二次缩放倍数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
原直线参数的方向向量模长为 5 而非 1，需先作尺度换元将参数转化为有向距离，距离乘积与弦长分别按模长平方与一次方缩放。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用基点和线性组合表示位置、韦达定理：根的整体关系
专题卡：单位方向参数与长度
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易混 2026 年江苏预赛 · P006071
两题都处理过同一定点与抛物线相交的弦，但目标量的几何性质决定了参数选法：只求定点到两交点的距离乘积和弦长时，用直线的单位方向参数代入一次即可；涉及两交点处切线交点及两条动弦中点连线时，则需用横坐标韦达定理配合切线极线方程。
直线方向参数把定点到交点的有向距离直接变成一元二次方程的根；抛物线切线交点坐标则由两切点横坐标的和与积直接控制。
培玉 · 一试