2014 年黑龙江预赛 · 第 17 题

解答

由 $b=a\cos C+c\cos A$，给定等式可化为 $b=2b\cos A$，故 $\boxed{A=\pi /3}$。$a=\sqrt{3}$ 时余弦定理给 $3=b^2+c^2-bc=(b-c{)}^2+bc$，所以 $0<bc\le 3$。中线公式得 $A{D}^2=[2b^2+2c^2-3]/4=(3+2bc)/4$。于是 $\boxed{AD\in (\sqrt{3}/2,3/2]}$。