2015 年辽宁预赛 · 第 8 题

复核

由 $\lg a$ 有定义，$a>0$。令 $t=\lg a$，则 $a=10^t$ 且 $t+10^t=10$。函数 $h(x)=x+10^x$ 在实数上严格递增：若 $x<y$，则两项分别严格增大。因此方程 $h(x)=10$ 至多有一实根。$t$ 与 $b$ 均为此根，故 $b=t$，从而 $a+b=10$，$\boxed{\lg (a+b)=1}$。根确实存在，因为 $h$ 连续且 $h(0)=1<10<h(1)=11$；并非由无解条件推出数值。