培玉 · 一试
2024 年北京预赛
F3填空题函数的值域
已知函数
其中 ， 互质且 。则函数 在区间 上的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
无理点的函数值不超过区间上端的上确界；对有理点令分母与分子之差为 ，两个区间条件给出窄整数区间。
解答
若 为无理数，则 。若既约分数 落在题给区间，令 ，则
时开区间内没有整数 ； 时只能取 ，并得
若 ，则
故函数值严格小于 。所以最大值为
复核
与分母互质，且严格位于两个端点之间；无理数分支的所有值均小于该值。
方法总结
靠近 的有理区间常适合设分子分母差 ；严格区间会把允许的分母压缩到少数整数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需要主动设既约分数的分母分子差r=p-q，将开区间转成9r<p<10r。此后整性给r>=2、p<=10r-1，目标值统一估为1-(r-1)/p<=9r/(10r-1)<=18/19，r=2,p=19,q=17达到。关键困难集中在一次分母差换元，后续是相连的整数间隙、分式比较与等号检查，没有第二项相互依赖的隐藏结构或非标准构造，应为F3。
已记下，谢谢！