2026 年上海预赛

思路

这里的焦点径向表示只是把点写成 $F+\rho \mathbf{u}$ 后解二次方程，无需极坐标先修知识。正交旋转不改变角度、距离和共线关系；含参直线的公共点可通过令各参数系数同时为零寻找。

想法从哪来：角平分条件发生在焦点，因此从焦点发出的方向比中心坐标更自然。先在一条焦点射线上设未知距离，将其代入椭圆，求出距离关于射线方向的表达式。焦点在椭圆内部，各方向恰有一个正交点，因而这一表示不会遗漏射线。 再把坐标轴旋到角平分线方向，两条射线的单位向量就有相同的轴向分量和互为相反的横向分量。将两个焦半径分别代入，尝试直接写同时经过两点的线性方程，避免先算斜率而漏掉竖直弦。方程按共同方向分量分组后，定点应让常数项与所有参数项同时消失；最后换回原坐标，并检查两点不同的条件。

以焦点 $F$ 为极点描述椭圆，射线上交点的焦半径只取决于射线方向。 $FP,FQ$ 关于 $FA$ 对称，故在以 $FA$ 为一条坐标轴的正交坐标系中，两条射线可写成 对称的方向向量；代入焦半径后，连接两点的直线方程会显出共同点。