2026 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 4 题

解答

记 $S_n={\bigcup }_{k=0}^n{A}_k$，则

第一个集合从 $n=5$ 起含有 $25$，从 $n=16$ 起含有 $36$；下一个平方数 $49$ 要到 $n=29$ 才出现。第二个集合只含偶数，其中最早的两个平方数是 $36$ 和 $64$，分别在

时出现。因此，$1\le n\le 4$ 时没有平方数；$5\le n\le 18$ 时平方数恰为 $25,36$，虽在 $n=16$ 后两个集合都含 $36$，仍只计一次。$n=19$ 时平方数恰为 $25,36,64$，共有三个。所求最小正整数为 $\boxed{19}$。