培玉 · 一试
2026 年湖南预赛
设椭圆
的左、右焦点为 。 为椭圆
上一个动点， 在 外。过 作 的两条切线，切点为 。 求
的取值范围。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
椭圆上点到两焦点距离和等于长轴长。切线条件可用交点二次方程判别式为零；含竖直切线时斜率式有遗漏，应改用方向向量或由连续性补上。
想法从哪来：两个椭圆的分母差相同，先算焦半距，确认它们共焦。这样动点到两焦点的距离和已经固定，焦点张角的余弦只缺距离积；用外椭圆参数就能将它写成横坐标平方的函数。 切线张角是另一条路线：过外点的切线与内椭圆联立，判别式为零得到斜率二次方程，再用根和根积算夹角。注意直线夹角通常会丢掉射线方向，需核对所求是两条切线段构成的角。本题化简后两个余弦具有同一个正分母，因此相减远比单独求各自范围有效。用横坐标平方的闭区间做单调性，并补查竖直切线出现的位置，即可保全端点。
两椭圆具有同一对焦点。焦点张角可用 的和与积计算；切线夹角则从过 的切线斜率方程求出。把外椭圆条件代入后，两种余弦都只依赖 的横坐标平方， 差值成为一个单调分式。
解答
两椭圆的焦半距都为 。设 ，并记
由外椭圆方程知 ，且
记 。外椭圆的长轴长为 ，故 。由标准参数式或直接展开可得
在 中使用余弦定理，
下面计算两条切线的夹角。过 的直线写成 。它与 相切的条件为
所以两条切线的斜率 是方程
的两根。由根与系数关系计算两条切线段形成的夹角，得到
利用 化简，分母为 ，从而
当 时有一条切线为竖直线；上式可由相邻点取极限得到，也可直接用两条切线 方向向量计算，结论不变。 因此
当 时，该式随 递增，故取值范围为
复核
对应外椭圆上下顶点，差值为 ； 对应左右顶点，差值为 ， 两个端点都能取到。外椭圆严格位于 外，所有这些点均可向 作两条切线。
方法总结
共焦椭圆能让焦点距离和、焦点距离积以及切线判别式出现同一组参数。处理两个角的余弦差时， 先各自用边长或斜率根表示，再代入外椭圆方程消元，常可把二维动点问题降为 的区间单调性。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需要分别将焦点角和两切线夹角写成x²的函数，借共焦关系发现分母相同，并处理竖直切线与射线夹角符号。
已记下，谢谢！