2025 年甘肃预赛

解答

令

相似缩放后可写成

三角形不等式等价于

而 $1+t^2>t$ 恒成立。因此

1. (1)

   由余弦定理，

   $$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{1+t^4-t^2}{2t^2}=\frac{1}{2}\left(t^2+\frac{1}{t^2}-1\right)\ge \frac{1}{2}.$$

   等号当且仅当 $t=1$。故 $B\le \pi /3$，且 $B=\pi /3$ 可以取得。 当 $t$ 趋近于 (1) 中任一端点时，三角形趋于退化且 $B\to 0$，但非退化三角形中 $B>0$。所以

   $$\boxed{0<B\le \frac{\pi }{3}}.$$
2. (2)

   在原式有定义，即 $\cos C\ne 0$ 时，

   $$\cos A\tan C+\sin A=\frac{\cos A\sin C+\sin A\cos C}{\cos C}=\frac{\sin (A+C)}{\cos C}=\frac{\sin B}{\cos C},$$

   同理

   $$\cos B\tan C+\sin B=\frac{\sin A}{\cos C}.$$

   由正弦定理，原式等于

   $$\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{b}{a}=t.$$

   还需排除 $C=\pi /2$。由余弦定理，

   $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1+t^2-t^4}{2t},$$

   故 $\cos C=0$ 当且仅当

   $$t^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2},t=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.$$

   结合 (1)，所求值域为

   $$\boxed{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)}.$$