2017 年河北预赛 · 第 6 题

解答

记左焦点为 $L=(-2,0)$，右焦点 $F=(2,0)$。左支上 $PF=PL+2\sqrt{2}$，所以周长为 $AP+PL+2\sqrt{2}+AF$。三角不等式给 $AP+PL\ge AL=\sqrt{2}$，又 $AF=\sqrt{10}$，故周长至少为 $3\sqrt{2}+\sqrt{10}$。线段 $LA$ 上点可写为 $(-2+t,t)$，代入双曲线得 $4-4t=2$，取 $t=1/2$ 即有合法点 $P=(-3/2,1/2)$，达到折线等号。故最小周长为 $\boxed{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}$。