易混 2014 年河北预赛 第 11 题 · P009421
把递增等差分解编码为首项、公差、项数，用总和公式和最小可能总和限制整数参数。比较计数与存在性构造时，先核清允许的最少项数。
固定整数的分解允许单项与两项；另一题明确至少三项。不能把短分解计入后题，也不能由若干小数值的枚举代替一般合数的构造。
培玉 · 一试
2026 年福建预赛
F2填空题数论
将正整数 改写成 个从小到大的正整数的和，称为 的一种分解。若这 个数构成等差数列，则称这 个数为正整数 的一种“等差分解”方式。 那么 的不同“等差分解”方式有种。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把首项、公差和项数分别作为整数参数；总和公式先限制项数，再逐层计数。单项分解也要单列。
解答
设项数为 。当 时，首项 、公差 都是整数，且
又 ，所以 。由 ，且 是素数，可知该范围内的可能项数只有 。 当 时，；，共 种。 当 时，；，共 种。 题设没有排除 ，单项数列 再贡献一种。因此总数为
复核
不被不超过其平方根的素数 整除。两项分解的末个公差 对应首项 ；四项分解的末个公差 也对应首项 。各参数确定唯一递增数列，不会重计。
方法总结
先用最小可能总和限制项数，再用总和的因子确定少量项数；公差的奇偶与正首项分别控制计数步长和端点。
为什么评为 F2 · 本站估计（会透露解法方向）
须先由最小和给项数界，再利用总和因数及奇偶条件精确计公差；单项分解和正首项端点均需单独核实。
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