2026 年上海预赛

解答

对每个 $x\in A$，定义

任意 $6$ 个子集的交集为空，说明不存在一个元素同时属于六个 $A_i$，因此

另一方面，任取五个不同指标组成的集合 $J$。题设说相应五个子集的交集非空， 故存在 $x\in A$ 使得 $J\subseteq I_x$。结合 (1)，必有

所以 $\{1,2,\dots ,k\}$ 的每个五元子集，都必须等于某个 $I_x$。 $A$ 只有 $12$ 个元素，因而

而

故 $k\le 6$。

下面构造 $k=6$ 的情形。记

规定

并令 $I_{y_j}=\{j\}$。再由

定义六个子集。每个元素至少属于一个 $A_i$，故六集的并为 $A$；任意五集的交至少含 相应的 $x_j$，而六集交为空。因此 $k=6$ 可以达到。

综上，