2024 年中科大少年班入围考 · 第 8 题

解答

令 $u=(x+y)/\sqrt{2},v=(x-y)/\sqrt{2}$，方程成为 $(1-a/2)u^2+(1+a/2)v^2+\sqrt{2}u=1$。要为非退化双曲线，两个二次系数须异号，即 $|a|>2$。此时配方平移后右端常数为 $(3-a)/(2-a)$，所以还须 $a\ne 3$；在 $a=3$ 时两平方项异号而常数为零，只是两条相交直线。其余参数均为非退化双曲线，因此 $\boxed{a\in (-\infty ,-2)\cup (2,3)\cup (3,+\infty )}$。