一试训练题

解答

把四数绝对值记为 $0<a<b<c<d$；若有相等者会导致乘积重复，所以可取严格次序。最小两积依次为 $ab=2,ac=3$，最大两积依次为 $cd=15,bd=10$。剩下 $ad,bc$ 为 $5,6$。若 $ad=5,bc=6$，则 $a^2=(ab)(ac)/(bc)=1$，得到 $(a,b,c,d)=(1,2,3,5)$。若 $ad=6,bc=5$，则 $a^2=6/5$，不可能有有理数 $a$（最简分数平方的各素因子指数均为偶数，而 $6/5$ 不满足）。所以四数为 $\boxed{\{1,2,3,5\}\text{或}\{-1,-2,-3,-5\}}$，和的平方均为 $\boxed{121}$。