2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 7 题

解答

记公共点为 $T=(8,9)$，圆半径为 $r>0$。因圆经过第一象限内的点且与两坐标轴均相切，其圆心只能为 $K=(r,r)$。 由 $KT=r$，

解得 $r=5$ 或 $r=29$。 若 $r=29$，由 $T\in \Gamma$ 有

与圆心在椭圆内矛盾。故 $r=5$，$\overrightarrow{KT}=(3,4)$。

两条光滑闭曲线只有一个公共点，且圆心在椭圆内部，故在该点相切。椭圆在 $T$ 处的切线为

其法向量 $(8/a^2,9/b^2)$ 与圆的半径向量 $(3,4)$ 平行，所以

结合 $64/a^2+81/b^2=1$，解得 $a^2=160$，$b^2=135$。因此焦距为