一试训练题

解答

令 $g(t)=t^3+\sin t$。因 $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$，$2\sin y\cos y=\sin 2y$，两式化为 $g\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=a$，$g(2y)=-a$。$g$ 是奇函数，$g^{\prime }(t)=3t^2+\cos t$：$|t|<1$ 时 $\cos t>0$，$|t|\ge 1$ 时 $3t^2\ge 3>1\ge -\cos t$，所以 $g^{\prime }>0$，$g$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。于是 $g\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-g(2y)=g(-2y)$ 推出 $x-\frac{\pi }{4}=-2y$，即 $x+2y=\frac{\pi }{4}$。故 $\cos (x+2y)=\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$。