2008 年湖北预赛 · 第 10 题

解答

令 $u=b/a>0,v=c/a>0$。条件给 $1\le u+v\le 3$ 及 $3u^2\le 1+v\le 5u^2$，特别有 $v\le 3-u$、$v\le 5u^2-1$。若 $u\ge 4/5$，则 $u-2v\ge 3u-6\ge -18/5$。若 $0<u\le 4/5$，则 $u-2v\ge u-10u^2+2=-18/5+(4/5-u)(10u+7)\ge -18/5$。取 $(a,b,c)=(5,4,11)$，原条件全部成立，且 $(b-2c)/a=-18/5$。故最小值为 $\boxed{-18/5}$。