2024 年重庆预赛

解答

取

并设 $D=(\cos \theta ,\sin \theta ,1)$。则

因 $AD$ 与 $BC$ 所成角为 $60^{\circ }$，有 $1/|AD|=1/2$，故 $|AD|=2$，从而 $\cos \theta =-1/2$。可取 $\sin \theta =\sqrt{3}/2$。

设外接球心为 $O=(x,y,z)$。由 $OB=OA=OC=OD$ 依次得

故 $y=\sqrt{3}/2$，于是

外接球体积为