2009 年湖北预赛 · 第 10 题

解答

令 $x_i=y_i+1$，则 $y_i\ge 0$ 且 $y_1+y_2+y_3+3y_4+3y_5+5y_6=7$。当 $y_6=0$ 时，令 $s=y_4+y_5$，有 $s=0,1,2$，贡献分别为 $(s+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9-3s}{2}\right)$，共 $36+30+9=75$。当 $y_6=1$ 时，只能 $y_4=y_5=0$，前三项和为2，有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 组。$y_6\ge 2$ 不可能。因此总数为 $\boxed{81}$。