培玉 · 一试

专题地图 › 递推数列

2022 年广西预赛

三角递推乘积

F3填空题递推数列

设 $a_{1} = \frac{π}{6}$ ， $a_{n} \in (0, \frac{π}{2})$ ，且

tan a_{n + 1} \cdot cos a_{n} = 1, n \geq 1.

若

k = 1 \prod m sin a_{k} = \frac{1}{100},

则 $m =$ 。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

需把三角递推化为x_(n+1)=1/(2-x_n)，再选1/(1-x_n)线性化，通项随后使乘积望远镜消去；关键在辅助量选择。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推换元化成线性、裂项相消

专题卡：分式递推求通项：取倒数，把它变成等差或等比数列、前缀作差找递推，长和只留首尾